EJERCITACIÓN !!!

       

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3) Cuestionario N° Racionales

DIVISIÓN DE NÚMEROS RACIONALES

Si consideramos a, b, c y r números racionales tales que b sea distinto de cero, es posible expresar el siguiente cociente con el objetivo de recordar los nombres que se asignan en el siguiente esquema: 

Para resolver los cocientes de números racionales expresados en escritura decimal, en los casos en los que el divisor es un número decimal (con parte decimal distinta de cero), debe transformarse dicho cociente en un cociente equivalente con el divisor entero, para lo cual se debe multiplicar tanto al dividendo como al divisor por la unidad seguida de tantos cero como el número de orden tenga el divisor. (Por ejemplo: por 10, si el divisor es de primer orden; por 100, si el divisor es de segundo orden).


Al resolver el cociente entre dos números racionales escritos en notación fraccionaria se obtiene otro número racional que es el producto del primer número racional por el inverso multiplicativo del divisor, es decir: 

•  Si se dividen dos números racionales del mismo signo el cociente es positivo.
• Si se dividen dos números racionales de distinto signos el cociente es negativo. 

Ejemplos:

Un ejemplo un poquito más complicado...

MULTIPLICACIÓN EN EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS RACIONALES

Para comenzar consideramos el producto de dos números racionales cualesquiera a y b, que da por resultado otro número racional único p. 

Introducimos los términos que vamos a usar: 

El producto de dos o más números racionales decimales o simplemente decimales expresados en escritura decimal, se obtiene multiplicando los factores como si fueran números enteros. El número de orden decimal del resultado es igual a la suma de los números de órdenes decimales de los factores que intervienen y el signo depende de si los factores tienen el mismo o distinto signo (considerar regla de signos).

En general, al multiplicar dos números racionales expresados con escritura fraccionaria se obtiene un número racional cuyo numerador es el producto de los numeradores de los factores y cuyo denominador es el producto de los denominadores de los factores. 

Importante: ¡¡¡REGLAS DE SIGNOS!!!

 1) Al multiplicar dos números racionales de igual signo (ambos positivos o ambos negativos) el resultado o producto es un número racional positivo.

2) Al multiplicar dos números racionales de distinto signo (uno positivo y el otro negativo, en cualquier orden) el resultado o producto es un número racional negativo.

CONSIDERACIONES:

• Si se multiplican dos números racionales en notación fraccionaria, el producto será otro número racional cuyo numerador se obtiene multiplicando los numeradores de las fracciones y el denominador se obtiene multiplicando los denominadores de los factores. 

       Siendo b ≠ 0 y d ≠ 0

• Recordar que se puede simplificar las fracciones antes de multiplicar, es más, sólo en el caso de la multiplicación se puede simplificar el numerador de una fracción con el denominador de otra fracción. 
• Si en el producto de dos números racionales uno de los factores es cero entonces el producto será igual a cero.
• Si en el producto de dos números racionales uno de los factores es cero, entonces, el producto será igual a cero.
•  Si multiplica números racionales escritos en notación decimal exacta, el producto se obtiene multiplicando cada factor como si fueran números enteros y el número de orden decimal del resultado será igual a la suma de los números de órdenes decimales de los factores.
•  Si se multiplican números racionales en notación decimal y otros en notación fraccionaria, se calcula la expresión decimal del que está indicado en notación fraccionaria y luego se calcula el producto. 
•  Si se multiplican números racionales en notación decimal y otros en notación fraccionaria y el cociente de esta última es una expresión decimal periódica, se debe tomar una decisión sobre el número de cifras decimales empleadas, que dependerá de la precisión con que se desee trabajar para calcular el producto.
•  Cada vez que una situación implique encontrar una parte de otra parte de un todo o simplemente una parte de un todo, la operación aritmética involucrada es la multiplicación.

PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIÓN EN Q

1) Propiedad de cierre:

                 El producto de dos números racionales es un número racional único.

2) Propiedad asociativa: 

                 Para todos los números racionales a, b, c se verifica que: 

a . b . c = ( a . b ) . c = a . ( b . c ) 

3) Propiedad del elemento neutro:

                  

                  Existe el número 1 perteneciente a Q, tal que para todo número racional ''a'' se verifica que: 

 1 . a = a . 1 = a 

4)  Propiedad conmutativa: 

                  Para todos los números racionales a, b se verifica que:

a . b = b . a

5) Propiedad uniforme: 

                   Para todos los números racionales a, b, c ; se cumple que:

Si a = b entonces a . c = b . c 

6) Propiedad cancelativa: 

                   Para todos los números racionales a, b, c; se cumple que:

Si a . c = b . c entonces a = b

7) Propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la suma y la resta: 

                   Para todos los números racionales a, b , c se cumple que: 

a . ( b + c ) = a . b + a . c 

RECORDAR 

El inverso multiplicativo de un racional positivo es otro racional positivo.

El inverso multiplicativo de un racional negativo es otro racional también negativo.

8) Propiedad del inverso multiplicativo: 

 Todo número racional distinto de cero tiene su inverso multiplicativo 

SUMA Y RESTA DE NÚMEROS RACIONALES

  SUMA DE NÚMEROS RACIONALES

Primero vamos a introducir algunas de las palabras que vamos a utilizar: 

Situación N° 1:  Suma de fracciones con IGUAL DENOMINADOR

Si se suman números racionales expresados como fracciones de igual denominador la suma es un número racional que tiene el mismo denominador y el numerador es la suma de los numeradores de los términos dados. 

Ejemplo:

Situación N° 2: Suma de fracciones con DISTINTO DENOMINADOR 

Si se suman números racionales expresados como fracciones de distinto denominador, se debe transformar dicha suma en otra suma cuyos sumandos son expresiones fraccionarias equivalentes a los sumados dados de igual denominador que es el menor múltiplo común de los denominadores dados. 

Ejemplo:


Importante!!

Si se suman dos números racionales expresados con distinta escritura es necesario escribir ambos en el mismo tipo de notación y luego calcular la suma. Si se suman números racionales cuya notación decimal es infinita se acuerda con la cantidad de cifras decimales que se desea obtener la suma.


PROPIEDADES DE LA SUMA CON NÚMEROS RACIONALES

1)  Propiedad de cierre

        La suma de dos números racionales es única y siempre un número racional. Al realizar el cálculo de una suma es indistinto el orden en que se sumen los términos; esto no altera el resultado o suma. Conclusión que puede expresarse a través de la propiedad conmutativa.

2) Propiedad conmutativa 

        Para todos los números racionales a y b  se verifica que

a + b = b + a 

3) Propiedad asociativa

        Para todos los números racionales a, b, c se verifica que: 

a + b + c = ( a + b ) + c = a + ( b + c ) 

4) Propiedad del elemento neutro 

       Existe el cero que pertenece a el conjunto de los números racionales Q, tal que para todo número racional a , se verifica: 

a + 0 = 0 + a = a 

5) Propiedad del elemento opuesto o inverso aditivo

    

       Para todo número racional ''a'', existe el racional (-a) tal que: 

a + ( -a ) = - a + a = 0 

6) Propiedad uniforme

       Para todos los números racionales a, b, c se cumple que: 

Si a = b   entonces   a + c = b + c

7) Propiedad cancelativa

         Para todos los números racionales a, b c se cumple que: 

Si a + c = b + c entonces a = b 

 RESTA DE NÚMEROS RACIONALES

Pensándolo como suma entre el minuendo y el opuesto del sustraendo, las propiedades y forma de realización son las explicadas anteriormente!! 

LOS NÚMEROS RACIONALES

INTRODUCCIÓN 

Los números racionales son aquellos N° que pueden ser expresados como el cociente de dos números enteros con la condición de que el divisor o denominador sea distinto de cero. 

Puntualmente, todo número entero se puede escribir como una fracción, cuyo numerador es dicho número y el denominador es el número uno. 

Inclusive el número cero es posible expresarlo de esta forma: 

Entonces, ¿Todo número entero es racional?

Exacto! Todo número entero es un número racional. 

Por eso se dice que el conjunto de los número enteros (Z) son parte o un subconjunto de los número racionales (Q). 

Y suele expresarse como: 

Para indicar que Z está incluido en Q, es decir, que Z es un subconjunto de Q.

Formas de escritura fraccionaria, decimal

Es común escuchar o leer expresiones como: 

1.  ''7 de cada 15 personas todavía no han decidido a que candidato presidencial van a votar'' 
2. ''40 de los 100 habitantes de una región son analfabetos''
3. ''3 de cada 20 alumnos que asisten a la escuela viajan en medio de transporte público'' 
4. ''7 de cada 24 personas son alérgicas a las flores'' 

Estas expresiones pueden escribirse empleando una razón o cociente exacto entre dos números enteros, es decir, con escritura fraccionaria: